Monumentalny dowód matematyczny rozwiązuje problem potrójnej bańki

Kiedy przychodzi do zrozumienia kształtu skupisk baniek, matematycy od tysiącleci doganiają nasze fizyczne intuicje. Skupiska baniek mydlanych w przyrodzie często wydają się natychmiast przechodzić w stan o najniższej energii, czyli taki, który minimalizuje całkowitą powierzchnię ich ścian (w tym ścian między bańkami). Ale sprawdzenie, czy bańki mydlane dobrze wykonują to zadanie – lub po prostu przewidzenie, jak powinny wyglądać duże skupiska baniek – jest jednym z najtrudniejszych problemów w geometrii. Matematycy potrzebowali aż do końca XIX wieku, aby udowodnić, że kula jest najlepszą pojedynczą bańką, mimo że grecki matematyk Zenodorus stwierdził to ponad 2000 lat wcześniej.

Problem bańki jest dość prosty do stwierdzenia: Zaczynasz od listy liczb oznaczających objętości, a następnie pytasz, jak oddzielnie zamknąć te objętości powietrza przy użyciu najmniejszej powierzchni. Ale aby rozwiązać ten problem, matematycy muszą rozważyć szeroki zakres różnych możliwych kształtów ścian baniek. A jeśli zadanie polega na zamknięciu, powiedzmy, pięciu objętości, nie mamy nawet luksusu ograniczenia naszej uwagi do skupisk pięciu baniek – być może najlepszym sposobem na zminimalizowanie powierzchni jest podzielenie jednej z objętości na wiele baniek.

Nawet w prostszym ustawieniu dwuwymiarowej płaszczyzny (gdzie próbujesz zamknąć zbiór obszarów przy minimalizacji obwodu), nikt nie zna najlepszego sposobu na zamknięcie, powiedzmy, dziewięciu lub dziesięciu obszarów. W miarę jak liczba bąbelków rośnie, „szybko nie można nawet uzyskać żadnego wiarygodnego przypuszczenia”, powiedział Emanuel Milman z Technion w Hajfie, Izrael.

Ale ponad ćwierć wieku temu John Sullivan, obecnie z Uniwersytetu Technicznego w Berlinie, zdał sobie sprawę, że w pewnych przypadkach można mieć przewodnie przypuszczenia. Problemy z bańkami mają sens w każdym wymiarze, a Sullivan odkrył, że tak długo, jak liczba objętości, które próbujemy zamknąć, jest co najwyżej o jeden większa od wymiaru, istnieje szczególny sposób zamykania objętości, który w pewnym sensie jest piękniejszy niż jakikolwiek inny – rodzaj cienia idealnie symetrycznego skupiska baniek na sferze. Ten cień, jak przypuszczał, powinien być tym, który minimalizuje powierzchnię.

W ciągu następnej dekady matematycy napisali serię przełomowych prac udowadniających przypuszczenie Sullivana, gdy próbujemy zamknąć tylko dwie objętości. W tym przypadku rozwiązaniem jest znana podwójna bańka, którą być może dmuchałeś w parku w słoneczny dzień, wykonana z dwóch kulistych kawałków z płaską lub kulistą ścianą pomiędzy nimi (w zależności od tego, czy dwie bańki mają taką samą czy różną objętość).

Ale udowodnienie domysłu Sullivana dla trzech objętości, spekulował w 2007 roku matematyk Frank Morgan z Williams College, „mogłoby równie dobrze zająć kolejne sto lat.”

Teraz matematykom oszczędzono tego długiego oczekiwania – i uzyskali znacznie więcej niż tylko rozwiązanie problemu potrójnej bańki. W pracy opublikowanej online w maju 2022 roku Milman i Joe Neeman z Uniwersytetu Teksańskiego w Austin udowodnili przypuszczenie Sullivana dla potrójnych bąbli w wymiarach trzech i wyższych oraz poczwórnych bąbli w wymiarach czterech i wyższych.

A jeśli chodzi o sześć lub więcej bąbelków, Milman i Neeman pokazali, że najlepszy klaster musi mieć wiele kluczowych atrybutów kandydata Sullivana, potencjalnie rozpoczynając matematyków na drodze do udowodnienia przypuszczenia także dla tych przypadków. „Mam wrażenie, że udało im się uchwycić istotną strukturę kryjącą się za domysłem Sullivana” – powiedział Francesco Maggi z University of Texas w Austin.

Centralne twierdzenie Milmana i Neemana jest „monumentalne”, napisał Morgan w e-mailu. „To genialne osiągnięcie z mnóstwem nowych pomysłów”

Shadow Bubbles

Nasze doświadczenia z prawdziwymi bańkami mydlanymi oferują kuszące intuicje dotyczące tego, jak powinny wyglądać optymalne skupiska baniek, przynajmniej jeśli chodzi o małe skupiska. Potrójne lub poczwórne bańki, które wydmuchujemy przez mydlane różdżki, wydają się mieć kuliste ściany (a czasami płaskie) i mają tendencję do tworzenia ciasnych kępek, a nie, powiedzmy, długiego łańcucha baniek.

Ale nie jest tak łatwo udowodnić, że to naprawdę są cechy optymalnych skupisk baniek. Na przykład matematycy nie wiedzą, czy ściany w minimalizującym się skupisku baniek są zawsze kuliste czy płaskie – wiedzą tylko, że ściany mają „stałą średnią krzywiznę”, co oznacza, że średnia krzywizna pozostaje taka sama od jednego punktu do drugiego. Sfery i powierzchnie płaskie mają tę własność, ale także wiele innych powierzchni, takich jak cylindry i faliste kształty zwane unduloidami. Powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie są „kompletnym zoo”, powiedział Milman.

Ale w latach 90. Sullivan uznał, że gdy liczba objętości, które chcemy zamknąć, jest co najwyżej o jeden większa od wymiaru, istnieje klaster kandydatów, który wydaje się przyćmiewać resztę – jeden (i tylko jeden) klaster, który ma cechy, które zwykle widzimy w małych skupiskach prawdziwych baniek mydlanych.

Aby zorientować się, jak zbudowany jest taki kandydat, wykorzystajmy podejście Sullivana do stworzenia klastra trzech baniek na płaskiej płaszczyźnie (więc nasze „bańki” będą raczej regionami na płaszczyźnie niż trójwymiarowymi obiektami). Zaczniemy od wybrania czterech punktów na sferze, które są w tej samej odległości od siebie. Teraz wyobraź sobie, że każdy z tych czterech punktów jest centrum maleńkiej bańki, żyjącej tylko na powierzchni kuli (tak, że każda bańka jest małym dyskiem). Nadmuchaj cztery bańki na sferze, aż zaczną się o siebie obijać, a następnie kontynuuj nadmuchiwanie, aż zbiorczo wypełnią całą powierzchnię. W końcu otrzymujemy symetryczne skupisko czterech baniek, które sprawia, że kula wygląda jak nadmuchany czworościan.

Następnie umieszczamy tę sferę na wierzchu nieskończonej płaskiej płaszczyzny, tak jakby sfera była kulą spoczywającą na nieskończonej podłodze. Wyobraźmy sobie, że kula jest przezroczysta, a na biegunie północnym znajduje się latarnia. Ściany czterech baniek będą rzutować cienie na podłogę, tworząc tam ściany gromady baniek. Z czterech baniek na kuli, trzy będą rzutować w dół do baniek cieni na podłodze; czwarta bańka (ta zawierająca biegun północny) będzie rzutować w dół do nieskończonej przestrzeni podłogi poza skupiskiem trzech baniek cieni.

Konkretny klaster trzech baniek, który otrzymamy, zależy od tego, jak zdarzyło nam się ustawić kulę, kiedy położyliśmy ją na podłodze. Jeśli obrócimy kulę tak, że inny punkt przysunie się do latarni na biegunie północnym, to zazwyczaj otrzymamy inny cień, a trzy bańki na podłodze będą miały różne powierzchnie. Matematycy udowodnili, że dla dowolnych trzech liczb, które wybierzemy dla obszarów, istnieje w zasadzie jeden sposób ustawienia kuli tak, aby trzy bańki z cieniem miały dokładnie te obszary.

Możemy swobodnie przeprowadzić ten proces w dowolnym wymiarze (choć cienie w wyższych wymiarach są trudniejsze do zwizualizowania). Istnieje jednak ograniczenie co do tego, ile bąbelków możemy mieć w naszym skupisku cieni. W powyższym przykładzie nie mogliśmy stworzyć klastra składającego się z czterech bąbelków na płaszczyźnie. Wymagałoby to rozpoczęcia od pięciu punktów na sferze, które byłyby w tej samej odległości od siebie – ale nie da się umieścić tylu jednakowo odległych punktów na sferze (choć można to zrobić w przypadku sfer o wyższych wymiarach). Procedura Sullivana działa tylko przy tworzeniu skupisk do trzech bąbelków w przestrzeni dwuwymiarowej, czterech bąbelków w przestrzeni trójwymiarowej, pięciu bąbelków w przestrzeni czterowymiarowej itd. Poza tymi zakresami parametrów, skupiska bąbelków w stylu Sullivana po prostu nie istnieją.

Ale w obrębie tych parametrów procedura Sullivana daje nam skupiska bąbelków w ustawieniach daleko wykraczających poza to, co może pojąć nasza fizyczna intuicja. „Nie da się zwizualizować tego, co jest 15-bąbelkami w [23-dimensional space],” powiedział Maggi. „Jak można nawet marzyć o opisaniu takiego obiektu?”

Jednak kandydaci Sullivana na bańki dziedziczą po swoich sferycznych protegowanych unikalny zbiór właściwości przypominających bańki, które widzimy w naturze. Ich ściany są wszystkie sferyczne lub płaskie, a gdziekolwiek trzy ściany się spotykają, tworzą kąty 120 stopni, jak w symetrycznym kształcie Y. Każda z objętości, którą próbujesz zamknąć, leży w jednym regionie, zamiast być podzielona na wiele regionów. I każda bańka dotyka każdej innej (i zewnętrznej), tworząc ciasne skupisko. Matematycy wykazali, że bańki Sullivana są jedynymi klastrami, które spełniają wszystkie te własności.

Kiedy Sullivan postawił hipotezę, że powinny to być skupiska, które minimalizują powierzchnię, zasadniczo mówił: „Załóżmy piękno” – powiedział Maggi.

Ale badacze baniek mają dobry powód, aby być ostrożnym w zakładaniu, że tylko dlatego, że proponowane rozwiązanie jest piękne, jest poprawne. „Są bardzo znane problemy … gdzie oczekiwałbyś symetrii dla minimalizatorów, a symetria spektakularnie zawodzi” – powiedział Maggi.

Na przykład, jest ściśle związany problem wypełnienia nieskończonej przestrzeni bańkami o równej objętości w sposób, który minimalizuje powierzchnię. W 1887 roku brytyjski matematyk i fizyk Lord Kelvin zasugerował, że rozwiązaniem może być elegancka struktura przypominająca plaster miodu. Przez ponad sto lat wielu matematyków uważało, że jest to prawdopodobna odpowiedź – aż do 1993 roku, kiedy to para fizyków zidentyfikowała lepszą, choć mniej symetryczną, opcję. „Matematyka jest pełna (…) przykładów, w których zdarzają się tego rodzaju dziwne rzeczy” – powiedział Maggi.

Mroczna sztuka

Kiedy Sullivan ogłosił swoje przypuszczenie w 1995 roku, jego część dotycząca podwójnego bąbla krążyła już od stulecia. Matematycy rozwiązali dwuwymiarowy problem podwójnej bańki dwa lata wcześniej, a w następnej dekadzie rozwiązali go w przestrzeni trójwymiarowej, a następnie w wyższych wymiarach. Ale gdy przyszło do kolejnego przypadku przypuszczenia Sullivana – potrójnych bąbelków – mogli udowodnić przypuszczenie tylko na płaszczyźnie dwuwymiarowej, gdzie interfejsy między bąbelkami są szczególnie proste.

Następnie w 2018 roku, Milman i Neeman udowodnili analogiczną wersję domysłu Sullivana w ustawieniu znanym jako problem bańki gaussowskiej. W tym ustawieniu można myśleć o każdym punkcie w przestrzeni jako o posiadającym wartość pieniężną: Początek jest najdroższym miejscem, a im dalej od początku, tym tańszy staje się grunt, tworząc krzywą dzwonową. Celem jest stworzenie stref o wybranych cenach (zamiast wybranych objętości) w sposób, który minimalizuje koszt granic stref (zamiast powierzchni granic). Ten problem bańki gaussowskiej ma zastosowania w informatyce do schematów zaokrąglania i pytań o wrażliwość na hałas.

Milman i Neeman zgłosili swój dowód do Annals of Mathematics, prawdopodobnie najbardziej prestiżowego czasopisma matematyki (gdzie później został zaakceptowany). Ale para nie miała zamiaru kończyć pracy. Ich metody wydawały się obiecujące także dla klasycznego problemu bąbelków.

Podrzucali pomysły tam i z powrotem przez kilka lat. „Mieliśmy 200-stronicowy dokument z notatkami” – powiedział Milman. Na początku wydawało się, że robią postępy. „Ale potem szybko zmieniło się to w 'Próbowaliśmy tego kierunku – nie. Próbowaliśmy [that] kierunek – nie.'” Aby zabezpieczyć swoje zakłady, obaj matematycy realizowali także inne projekty.

Następnie ostatniej jesieni, Milman przyszedł na sabbatical i postanowił odwiedzić Neemana, aby para mogła wykonać skoncentrowany nacisk na problem bańki. „Podczas sabatu to dobry czas, aby spróbować wysokiego ryzyka, wysokiego zysku typów rzeczy”, powiedział Milman.

Przez pierwsze kilka miesięcy nigdzie nie doszli. W końcu postanowili dać sobie nieco łatwiejsze zadanie niż pełne przypuszczenie Sullivana. Jeśli dasz swoim bańkom jeden dodatkowy wymiar przestrzeni do oddychania, otrzymasz premię: najlepsze skupisko baniek będzie miało symetrię lustrzaną w płaszczyźnie centralnej.

Domysł Sullivana dotyczy potrójnych bąbelków w wymiarach dwa i więcej, poczwórnych bąbelków w wymiarach trzy i więcej, i tak dalej. Aby uzyskać symetrię bonusową, Milman i Neeman ograniczyli swoją uwagę do potrójnych bąbelków w wymiarach trzy i w górę, poczwórnych bąbelków w wymiarach cztery i w górę, i tak dalej. „Tak naprawdę dopiero kiedy zrezygnowaliśmy z uzyskania jej dla pełnego zakresu parametrów, naprawdę zrobiliśmy postęp” – powiedział Neeman.

Mając do dyspozycji tę symetrię lustrzaną, Milman i Neeman wymyślili argument perturbacyjny, który polega na lekkim nadmuchaniu połowy gromady bąbelków, która leży nad lustrem i spuszczeniu powietrza z połowy, która leży pod nim. Ta perturbacja nie zmieni objętości baniek, ale może zmienić ich powierzchnię. Milman i Neeman pokazali, że jeśli optymalny klaster baniek ma jakiekolwiek ściany, które nie są sferyczne lub płaskie, to będzie sposób na wybranie takiej perturbacji, która zmniejszy powierzchnię klastra – sprzeczność, ponieważ optymalny klaster ma już najmniejszą możliwą powierzchnię.

Używanie perturbacji do badania baniek jest dalekie od nowego pomysłu, ale zorientowanie się, które perturbacje wykryją ważne cechy klastra baniek jest „trochę mroczną sztuką”, powiedział Neeman.

Z perspektywy czasu, „gdy zobaczysz [Milman and Neeman’s perturbations], wyglądają one całkiem naturalnie” – powiedział Joel Hass z UC Davis.

Ale uznanie perturbacji za naturalne jest znacznie łatwiejsze niż wymyślenie ich w pierwszej kolejności, powiedział Maggi. „To zdecydowanie nie jest coś, co można powiedzieć, 'W końcu ludzie by to znaleźli’,” powiedział. „To naprawdę geniusz na bardzo niezwykłym poziomie”

Milman i Neeman byli w stanie wykorzystać swoje perturbacje, aby pokazać, że optymalny klaster bąbelków musi spełniać wszystkie podstawowe cechy klastrów Sullivana, z wyjątkiem być może jednego: zastrzeżenia, że każdy bąbelek musi dotykać każdego innego. Ten ostatni wymóg zmusił Milmana i Neemana do zastanowienia się nad wszystkimi sposobami łączenia się bąbelków w klastry. Kiedy mamy do czynienia z trzema lub czterema bańkami, nie ma aż tak wielu możliwości do rozważenia. Jednak w miarę zwiększania liczby bąbelków, liczba różnych możliwych wzorów połączeń rośnie, nawet szybciej niż wykładniczo.

Milman i Neeman mieli początkowo nadzieję na znalezienie nadrzędnej zasady, która obejmowałaby wszystkie te przypadki. Ale po spędzeniu kilku miesięcy „łamiąc sobie głowy”, powiedział Milman, postanowili zadowolić się na razie bardziej doraźnym podejściem, które pozwoliło im poradzić sobie z potrójnymi i poczwórnymi bańkami. Ogłosili również niepublikowany dowód, że quintuple bubble Sullivana jest optymalny, choć nie ustalili jeszcze, że jest to jedyny optymalny klaster.

Praca Milmana i Neemana to „zupełnie nowe podejście, a nie rozszerzenie poprzednich metod” – napisał Morgan w e-mailu. Prawdopodobnie, jak przewiduje Maggi, to podejście może być posunięte jeszcze dalej – być może do klastrów składających się z więcej niż pięciu pęcherzyków lub do przypadków z przypuszczenia Sullivana, które nie mają symetrii lustrzanej.

Nikt nie spodziewa się, że dalszy postęp przyjdzie łatwo; ale to nigdy nie zniechęciło Milmana i Neemana. „Z mojego doświadczenia”, powiedział Milman, „wszystkie główne rzeczy, które miałem szczęście być w stanie zrobić, wymagały po prostu nie poddawania się”

Oryginalna historia przedrukowany za zgodą z Quanta Magazine, niezależna od redakcji publikacja Fundacja Simonsa której misją jest zwiększenie publicznego zrozumienia nauki poprzez relacjonowanie rozwoju badań i trendów w matematyce oraz naukach fizycznych i przyrodniczych.